Ein geometrisches Rätsel zum Jahresanfang 2025 beschäftigt sich mit ähnlichen Dreiecken, die durch die Überlagerung zweier Quadrate entstehen. Die Flächen von drei Dreiecken sind gegeben, und es muss die Fläche des vierten Dreiecks berechnet werden.
Damit Sie zu Jahresbeginn nicht noch mehr rechnen müssen, geht es im ersten Rätsel 2025 um ein geometrisches Problem – und nur ein wenig um Rechnerei. Zwei identisch große Quadrate liegen übereinander. Allerdings nicht genau übereinander. Das obere Quadrat ist leicht gedreht. Zudem befindet sich sein Mittelpunkt nicht exakt über dem Mittelpunkt des Quadrats darunter. Die Ecken des oben liegenden Quadrats ragen deshalb über die Seiten des unteren Quadrats hinaus.
Dabei entstehen vier rechtwinklige Dreiecke, die in der Zeichnung oben farbig hervorgehoben sind. Die Flächen von drei dieser Dreiecke sind vorgegeben: 1, 2 und 4. Alle vier rechtwinkligen Dreiecke sind ähnlich zueinander. Wir nehmen an, dass das gelbe Dreieck (mit der Fläche 1) eine Hypotenuse der Länge g hat und eine Höhe der Länge h. Das blaue Dreieck rechts ist viermal so groß wie das gelbe. Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke müssen Hypotenuse und Höhe des blauen Dreiecks doppelt so lang wie beim gelben Dreieck sein. Denn die Fläche wird mit der Formel Hypotenuse (=Grundlinie) mal Höhe durch 2 berechnet. Also hat das blaue Dreieck eine Hypotenuse der Länge 2g und eine Höhe von 2h. Das rote Dreieck hat eine doppelt so große Fläche wie das gelbe. Hypotenuse und Höhe müssen deshalb im Vergleich zum gelben Dreieck den Faktor Wurzel(2) haben. Dann gilt für die Hypotenusenlänge Wurzel(2)*g und für die Höhe Wurzel(2)*h. Das grüne Dreieck hat die Fläche x, wobei wir x noch nicht kennen. Hypotenuse und Höhe müssen daher die Längen Wurzel(x)*g und Wurzel(x)*h haben. Nun kommt der entscheidende Schritt: Die Summe der Höhen von blauem und grünem Dreieck muss genauso groß sein wie die Summe der Höhen von gelbem und rotem Dreiec
Rätsel Geometrie Dreiecke Quadrate Flächenberechnung
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